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數系的擴充與復數的概念 教學設計

[日期:2015/5/15 14:34:00] 閱讀:5761

  高二年級數學 第五周集體備課

 

引入:

大家都知道,數,是數學中的基本概念,也是我們生活和科學技術時刻離不開的語言和工具。前幾天,老師遇到了這樣一個與數有關的問題,大家看看該怎樣解決呢?

   問題1:已知 ,求:(1) ;(2)

對于第二個問,學生可能出現下面幾種方案得出結論,

方案一:

方案二:

方案三:通過 可是

方案四:

你是怎么處理的,結論是什么?

第二個問為什么沒解出來?為什么存在著使 的數,但是卻求不出來,你是怎么想的呢?

正如同學們所分析的,數的概念需要進一步發展,實數集需要擴充。這就是本節課要研究的內容——§3.3.1數系的擴充與復數的概念。

應該如何進行數的擴充呢?到目前為止,大家已經知道,數系經歷了三次擴充,就讓我們通過回憶,從中尋找數系擴充的方法。

請大家以四人為一組合作探討下面的問題。

    問題2:數在不斷的發展,到目前為止,經歷了三次擴充,

1)回顧數從自然數發展到實數的三次擴充歷程。

2)說明數集N,Z,Q,R的關系

2)分析每一次引入新數,擴大數系的原因。

同學們說的非常好,數的這種發展一方面是生產生活的需要,另一方面也是數學本身發展的需要。

數與數之間的聯系正是通過一些運算建立起來的,如果沒有運算,數不過是一些孤立的符號,毫無意義,接下來讓我們從運算的角度,進一步討論數的擴充。

    問題3:  對于加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算來說,在以下四個數集中,

(1)任意兩個數運算所得的結果是否仍然屬于這個數集。

(2)試著分析,引入負數,分數,無理數對于運算的影響。

    運算

數集

加法

減法

乘法

除法

乘方

開方

正整數集

整數集

有理數集

實數集

通過這個表格,我們看到,新的數集中,原有的運算律仍然適用,同時引入新數后,使得原來的某種不可以實施的運算變得可行了。

通過不斷的引入新數,數系逐步擴大到了實數系。

問題4:現在我們要進行數系的再一次擴充就是要解決什么問題? 怎么解決?你能具體說一說嗎?

同學們分析的很好,到目前為止,負數開偶次方的問題還沒有解決,我們不妨先來研究負數開平方的問題,從運算的角度來說,也就是要解決方程 在實數系中無解的問題。像大家說的,我們可以仿照前面的做法,引入一種新數,法國數學家笛卡爾給這些數起名叫虛數,即 “虛的數”與“實數”相對應.這是因為最開始研究這種新數是在16世紀,而那個時候人們沒能發現什么事物可以支持這樣的數。

如果引入虛數,負數可以開方了,那么 就有意義了。我們希望,引入虛數后,原來在實數集中給出的運算規則仍能適用。例如,在引入虛數后,我們希望能把 表示成 的形式。實際上任何一個負數的平方根都可以表示成一個實數與 的乘積的形式,因此,意大利數學家邦貝利提出可以把 看作虛數單位。

負數、分數和無理數引入時,都相應的帶來了一種新的記號,那么對于虛數,用一種什么樣的記號來表示呢?

現在我們規定:(1) ;(2)

使用 來表示 這個數,是偉大的數學家歐拉在1777年,雙目失明以后憑借著超乎尋常的意志和毅力,仍然不放棄對科學問題的思索與追求的結果,從而讓虛數有了一個特征性的記號。從此,也就不在使用 表示虛數單位了,而是 了。那么 ,這種表示方法既簡潔又有特點。

問題5:不僅僅 是虛數吧,你還能說出其他形式的虛數嗎?那么通過運算,虛數可以用 表示成什么形式呢?(討論)

一.復數的定義

虛數與實數構成了一個新的數集,我們把這個新的數集叫做復數集,記作 。這樣我們就完成了數系的又一次擴充。我們把新的數系稱作復數系。

該怎樣用描述法表示集合 呢?

形如 的數,我們把它們叫做復數,其中 叫做復數的實部, 叫做復數的虛部。

一個復數是由兩部分組成的,如果兩個復數的實部和虛部分別相等,我們就說這兩個復數相等,反之亦然,即

問題6:實數與虛數組成了復數,那么 這種形式,什么時候表示實數,什么時候表示虛數呢?

二.例題

例題1.判斷下列各數哪些是實數、虛數、純虛數,并指出它們各自的實部和虛部。

例題2.當 取何實數時,復數 是:

1)實數     (2) 虛數       (3)純虛數       (4)零

結論:

   三.虛數引入的必要性

通過前面的研究,大家對虛數已經有了初步的認識,然而歷史上引入虛數,可不是件容易的事,是許多數學家200多年的努力,才奠定了虛數在數學領域的地位。開始很多人都不承認虛數,就連科學家牛頓也不認為虛數有多少意義,他認為虛數的引入只是為了使不可解的問題,顯得像是可以解的樣子。

他在《大術》第三十七章中,提出並解決這樣的問題:「 把10分為兩部分,其中一部份乘以另一部份結果為40 … 因此,將分成的兩部分應是 5+事實并非如此,我們最開始研究的問題1,就是16世紀,意大利數學家卡爾達諾研究的一個著名問題:“將10分成兩部分,使他們的乘積等于40” 的變形。這個問題就說明了虛數的存在性。

數十年后另一個意大利數學家邦貝力(R. Bombelli,1526-1573)發現,方程 有三個實數根4, 。邦貝力在利用三次方程求根公式求解時,卻發現實數4竟然是用 來表示的。

這個問題進一步說明了虛數不是虛無飄渺的,而是客觀存在的。

四.復數的實際應用

在十六世紀,很多數學家不認可虛數,只不過因為那時人們對數的認識還不是很深刻,負數和無理數才剛剛接受,讓他們接受負數可以開方就更難了。而且那時也無法在現實世界中找到任何可以支持虛數的事物。

不過經過許多數學家的深入研究與探索,現在復數理論越來越完善,它的重要性也越來越明顯。在處理很多數學問題,如代數、分析、幾何與數論等問題中,皆可看到復數的蹤跡。

一些碎形就是基于復數理論基礎上的。

這個圖就是碎形——曼德勃羅集合,這是他的局部放大圖。

復數更多的應用是作為一種數學工具,服務于各個領域。比如復數為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用,為建立巨大水電站(如三峽水電站)提供了重要的理論依據。

復數還廣泛的應用于物理學的各個分支, 比如在交流電,工程力學中的計算,計算量子力學中的震蕩波產生的影響,等等。

五.師生小結

那么,通過這堂課的學習你有哪些收獲?

今天我們的學習僅僅是打開了研究復數的大門,對復數的認識還是膚淺的,在今后的學習中,大家再慢慢體會復數的作用。

板書:

§3.1.1數系的擴充與復數的概念

一.  虛數

1.  虛數單位

2.  虛數的表示形式

二.  復數

1.  概念:形如 的數, 叫做復數的實部, 叫做復數的虛部。

2.  性質:

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